Question

【題目】已知函數（其中為自然對數的底， ）的導函數為.

（1）當時，討論函數在區間上零點的個數；

（2）設點， 是函數圖象上兩點，若對任意的，割線的斜率都大于，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】試題分析：（1）由 ，記，問題轉化為函數的圖象與x軸的交點個數問題；（2）對任意的，割線的斜率都大于，即，記 ，研究函數的單調性與最值即可.

試題解析：

（1）時，由 ，記，

，當時， ，當時， ，所以當時， 取得極小值，

①當即時，函數在區間上無零點；

②當即時，函數在區間上有一個零點；

③當即時，函數在區間上有兩個零點；

（2），

， ，

依題意：對任意的，都有，

即，

記 ， ，

記，則. 記，

則，

所以時， 遞增，所以，

①當即時， ，即，所以在區間上單調遞增，所以，得到，從而在區間上單調遞增，

所以恒成立；

②當即時，因為時， 遞增，所以，

所以存在，使得時， 即，所以在區間上單調遞減，所以時， 即，

所以時， 在區間上單調遞減，所以時， ，從而不恒成立。綜上：實數的取值范圍是．