Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A在x軸正半軸上，直線AB的傾斜角為

3

4

π，
OB=2，設∠AOB=θ，θ∈(

π

2

，

3

4

π)
（1）用θ表示OA
（2）求

OA

•

OB

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據直線AB的傾斜角求出∠BAO的度數，又∠AOB=θ，根據三角形的內角和定理表示出∠ABO，由OB的值，利用正弦定理即可得到θ表示的OA；
（2）先根據平面向量的數量積的運算法則表示出

OA

•

OB

，把

OA

和

OB

的模代入，利用兩角差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，根據θ的范圍求出這個角的范圍，根據正弦函數的圖象和單調性即可得到正弦函數的最小值，進而得到

OA

•

OB

的最小值．

解答：解：（1）在△ABC中，因為OB=2，∠BAO=

π

4

 ，∠ABO=π-

π

4

-θ=

3π

4

-θ，
由正弦定理得：

OB

sin π 4

=

OA

sin∠ABO

，即

2

2 2

=

OA

sin( 3π 4 -θ)

，
所以OA=2

2

sin(

3π

4

-θ)；
（2）由（1）得

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|•cosθ=4

2

sin(

3π

4

-θ)•cosθ，
=2（sin2θ+cos2θ）+2=2

2

sin(2θ+

π

4

)+2，
因為θ∈(

π

2

，

3π

4

)，所以2θ+

π

4

∈(

5π

4

，

7π

4

)，
所以當2θ+

π

4

=

3π

2

，即θ=

5π

8

時，

OA

•

OB

的最小值為2-2

2

．（14分）

點評：此題考查學生靈活運用正弦定理及兩角和的正弦函數公式化簡求值，掌握平面向量的數量積的運算法則及正弦函數的圖象與性質，是一道中檔題．