Question

【題目】棱長(zhǎng)為2的正方體在平面上的射影的面積最大值等于________________.

Answer 1

【答案】

【解析】

對(duì)正方體而言，無論從外部那個(gè)角度看，最多只能看到三個(gè)面，所以可只考慮共頂點(diǎn)的三個(gè)面在某一個(gè)平面上的射影的面積的最值就就足夠了，正方體共頂點(diǎn)在平面上的射影的面積記為，這三個(gè)平面與平面所成二面角分別記為，則

，可證，利用基本不等式，可求出的最大值，即可得出結(jié)論.

先推導(dǎo)一個(gè)結(jié)論：

三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，

三側(cè)面與底面所成的二面角分別記為，則有

成立，以下證明：

如圖，是在底面上的射影，

連并延長(zhǎng)分別交三邊于，

連，兩兩互相垂直，

平面平面，

平面，

是二面角的平面角，記為，

同理另兩側(cè)面與底面所成二面角分別為

記為，三側(cè)面及底面的面積分別記為

平面，（射影面積公式），

同理，①

平面，，

，②

①代入②，；

正方體的邊長(zhǎng)為2，每個(gè)面的面積為4，

正方體共頂點(diǎn)在平面上的射影的面積記為，

這三個(gè)平面與平面所成二面角分別記為，則

，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號(hào)成立，

正方體在平面上的射影是如下圖所示的正六邊形，其面積最大為.

故答案為:.