Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+a²-1，若關(guān)于x的不等式f（f（x））＜0的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x）＜0解得a-1＜x＜a+1，不等式f（f（x））＜0⇒a-1＜f（x）＜a+1，原不等式的解集為空集，得到a-1＜f（x）＜a+1解集為空集，那么（a-1，a+1）與值域的交集為空集，求出a的范圍．

解答： 解：f（x）=x²-2ax+a²-1=x²-2ax+（a-1）（a+1）=[x-（a-1）][x-（a+1）]
由f（x）＜0
即[x-（a-1）][x-（a+1）]＜0
解得a-1＜x＜a+1，
那么不等式f（f（x））＜0⇒a-1＜f（x）＜a+1  （*）
又f（x）=（x-a）²-1
當(dāng)x=a時(shí)，f（x）取得最小值-1
即函數(shù)的值域?yàn)閇-1，+∞）
若原不等式的解集為空集，則（*）的解集為空集，
那么（a-1，a+1）與值域的交集為空集
所以a+1≤-1
所以a≤-2．
故答案為：a≤-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由一元二次不等式的解集求 參數(shù)的范圍，屬于中檔題．