Question

（2009•黃岡模擬）四個大小相同的小球分別標有數字1、1、2、2，把它們放在一個盒子里，從中任意摸出兩個小球，它們所標有的數字分別為x，y，記ξ=x+y．
（1）求隨機變量ξ的分布列及數學期望；
（2）設“函數f（x）=x²-ξx-1在區間（2，3）上有且只有一個零點”為事件A，求事件A發生的概率．

Answer 1

分析：（1）隨機變量ξ的可能取值為2，3，4，從盒子中摸出兩個小球的基本事件總數為C₄²=6，然后根據等可能事件的概率求出相應的概率，得到分布列，最后根據數學期望公式解之即可；
（2）根據函數f（x）=x²-ξx-1在區間（2，3）上有且只有一個零點可求出ξ的取值，從而求出事件A發生的概率．

解答：解：（1）由題意，隨機變量ξ的可能取值為2，3，4；
從盒子中摸出兩個小球的基本事件總數為C₄²=6，
當ξ=2時，摸出的小球所標的數字為1，1；
∴P（ξ=2）=

1

6

．
當ξ=4時，摸出的小球所標的數字為2，2；
∴P（ξ=4）=

1

6

．
∴可知當ξ=3時，P（ξ=3）=1-

1

6

-

1

6

=

2

3

∴ξ的分布列為

ξ	2	3	4
P	1 6	2 3	1 6

故Eξ=2×

1

6

+3×

2

3

+4×

1

6

=3
（2）∵函數f（x）=x²-ξx-1在區間（2，3）上有且只有一個零點
∴f（2）f（3）＜0即（3-2ξ）（8-3ξ）＜0
∴

3

2

＜ξ＜

8

3

且ξ的所求可能取值為2，3，4
∴ξ=2
∴P（A）=P（ξ=2）=

1

6

．
∴事件A發生的概率為

1

6

．

點評：本題主要考查了函數零點，以及離散型隨機變量及其分布列和數學期望，同時考查了分類討論的數學思想和計算能力，屬于中檔題．