Question

近日，國家經貿委發出了關于深入開展增產節約運動，大力增產市場適銷對路產品的通知，并發布了當前國內市場185種適銷工業品和42種滯銷產品的參考目錄．為此，一公司舉行某產品的促銷活動，經測算該產品的銷售量P萬件（生產量與銷售量相等）與促銷費用x萬元滿足(其中，a為正常數)．已知生產該產品還需投入成本10+2P萬元(不含促銷費用)，產品的銷售價格定為元／件．

(1)將該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數；

(2)促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大．

 

Answer 1

【答案】

（1），（）.

（2）當時, 促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大;

當時,促銷費用投入萬元時，廠家的利潤最大 .

【解析】

試題分析：（1）由題意得到， 將代入化簡即得

，（）.

（2）將原函數變形，應用基本不等式，，

當且僅當時，上式取等號.根據，討論，, 的不同情況，確定最大利潤.

試題解析：（1）由題意知， ，

將代入化簡得：

，（）， 6分

（2），

當且僅當時，上式取等號. 9分

當時, 促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大;

當時, 在上單調遞增,所以在時,函數有最大值．促銷費用投入萬元時，廠家的利潤最大 .

綜上述,當時, 促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大;

當時,促銷費用投入萬元時，廠家的利潤最大 . 12分

考點：函數的應用問題，基本不等式.