Question

曲線C：f（x）=x³+ax+b關于坐標原點對稱，且與x軸相切．
（1）求a，b的值；
（2）若曲線G：h（x）=λ•

f′(x)

x

+sinx上存在相互垂直的兩條切線，求實數λ的取值范圍；
（3）是否存在實數m，n，使函數g（x）=3-|f（x）|的定義域與值域均為[m，n]？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件，說明函數是奇函數，求出b的值，利用函數與x軸相切，求出a的值即可；
（2）利用h（x）=λ•

f′(x)

x

+sinx的導數，通過曲線上存在相互垂直的兩條切線，斜率乘積為-1，通過三角函數的有界性，求實數λ的取值范圍；
（3）假設存在m，n符合題意：通過（A）當m＜0時，可得

g(m)=m g(n)=n

，即m，n是方程g（x）=x的兩個相異負根，推出p（x）=x³-x+3（x＜3），p′（x）故p（x）至多在（-∞，-

3

3

）有一個零點，此時m，n不存在．
通過（B）當m≥0時，因g（x）=3-x³在區間[m，n]上是減函數，利用

g(m)=n g(n)=m

⇒

m3+n=3 n3+m=3

，與條件矛盾，此時m，n不存在
通過（C）當m＜0≤n時，說明p（x）=x³-x+3在（-∞，-24]上遞增，推出無滿足m的解，不存在．

解答：解：（1）由f（-x）=-f（x）可得，b=0，
設曲線C與x軸切于T（t，0），
則

f(t)=0 f′(t)=0

⇒

t3+at=0 3t2+a=0

⇒a=t=0⇒f（x）=x³．
（2）h（x）=λ•

f′(x)

x

+sinx=3λx+sinx，h′（x）=3λ+cosx（x≠0），
設切點（t₁，h（t₁））（t₂，h（t₂））⇒h′（t₁）•h′（t₂）=-1
則（3λ+cost₁）（3λ+cost₂）=-1，⇒9λ²+3（cost₁+cost₂）λ+cost₁cost₂+1=0．
故△=9（cost₁+cost₂）²-36（cost₁cost₂+1）≥0⇒（cost₁-cost₂）²≥4，
又-1≤cost₁cost₂≤1⇒（cost₁-cost₂）²≤4⇒cost₁-cost₂=4，
此時cost₁=1，cost₂=-1或者cost₁=-1，cost₂=1可得λ=0．
（3）g（x）=

3+x2     ， x＜0 3-x2 ，  x≥0

，假設存在m，n符合題意：
（A）當m＜0時，可得

g(m)=m g(n)=n

，即m，n是方程g（x）=x的兩個相異負根，得x³-x+3=0，
令p（x）=x³-x+3（x＜3），p′（x）=3x²-1=0⇒x=-

3

3

．
考慮
，由于p（0）=3＞0，
故p（x）至多在（-∞，-

3

3

）有一個零點，此時m，n不存在
（B）當m≥0時，因g（x）=3-x³在區間[m，n]上是減函數，
故

g(m)=n g(n)=m

⇒

m3+n=3 n3+m=3

，
兩式相減可得m²+mn+n²=1⇒（m+n）²-mn=1，
由于mn＜

(m+n)2

4

⇒(m+n)2-

(m+n)2

4

＜1⇒m+n＜

2

3

由0≤m＜n，⇒m＜

1

3

，n＜

2

3

⇒m3+n＜

7

3 3

＜3，與條件矛盾，
此時m，n不存在
（C）當m＜0≤n時，因為g（x）_max=g（0）=3⇒n=3，
若g（x）_min=g（3）=-24⇒m=-24，
，而g（-24）=3-24³＜g（x）_min，矛盾
若g（x）_min=g（m）=3+m³⇒3+m³=m    （*），
因g（3）=-24≥g（x）_min⇒m≤-24，根據情況（A）知p（x）=x³-x+3在（-∞，-24]上遞增，
又p（-24）＜0，從而方程（*）無滿足m≤-24的解，故不存在．
綜上所述，不存在實數m，n，使函數的定義域與值域均為[m，n]．

點評：本題考查函數的導數與曲線的切線方程的求法，函數的零點，函數的值域的應用，考查分析問題與解決問題的能力，考查分類討論思想的應用．