Question

【題目】設函數（是常數）.

（1）證明：是奇函數；

（2）當時，證明：在區間上單調遞增；

（3）若，使得，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）可看出f（x）的定義域為{x|x≠0}，并容易求出f（﹣x）＝﹣f（x），從而得出f（x）是奇函數；

（2）λ＝1時，，根據增函數的定義：設任意的x1＞x2＞1，然后作差，通分，提取公因式，說明f（x1）＞f（x2）即可得出f（x）在（1，+∞）上單調遞增；

（3）可設，根據題意可知，m≥g（x）min，x∈[1，2]，可設2x＝t（2≤t≤4），得出，根據上面知y在[2，4]上單調遞增，從而可求出g（x）在[1，2]上的最小值，即得出m的范圍．

解：（1）定義域為{x|x≠0}，且f（﹣x），

∴f（x）是奇函數；

（2）證明：λ＝1時，，

設x1＞x2＞1，則：，

∵x1＞x2＞1，

∴x1﹣x2＞0，x1x2﹣1＞0，x1x2＞0，

∴，

∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在區間（1，+∞）上單調遞增；

（3）設，

x∈[1，2]，使得等價于m≥g（x）min，x∈[1，2]，

設2x＝t（2≤t≤4），則，由（2）可知，在[2，4]上單調遞增，

∴當t＝2，即x＝1時，y取得最小值為，

∴，

∴實數m的取值范圍為．