Question

設△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c=2

3

，C=

π

3

，
（I）若向量

m

=(1，sinA)與向量

n

=(2，sinB)共線，求△ABC的面積；
（II）求函數y=

m

•

n

的值域．

Answer 1

分析：（I）通過向量

m

=(1，sinA)與向量

n

=(2，sinB)共線，以及正弦定理余弦定理，直接求出a，b的值，然后求△ABC的面積；
（II）利用（Ⅰ）求出函數y=

m

•

n

的表達式，通過正弦定理求出A的正弦函數值，然后求出函數的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

m

=(1，sinA)與

n

=(2，sinB)共線，∴sinB-2sinA=0．
由正弦定理 

a

sinA

=

b

sinB

，得 b=2a，①
∵c=2

3

，由余弦定理得12=a² +b²-2abcos

π

3

，②
解方程組①②，得 a=2，b=4．
所以△ABC的面積：S=

1

2

absinC=

1

2

×2×4×

3

2

=2

3

．
（Ⅱ）函數y=

m

•

n

=2+sinAsinB=2+2sin²A．由（Ⅰ）可知a=2，c=2

3

，C

π

3

，所以由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

可知
sinA=

2× 3 2

2 3

=

1

2

，函數y=

m

•

n

=2+sinAsinB=2+2sin²A=2+2×

1

4

=

5

2

．
所以函數的值域為{y|y=

5

2

}．

點評：本題考查平面向量數量積的運算，平行向量與共線向量，正弦定理與余弦定理的應用，考查計算能力．