Question

已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）取PC的中點O，連接OF、
OE．∴FO∥DC，且FO=

1

2

DC
∴FO∥AE
又E是AB的中點．且AB=DC．∴FO=AE．
∴四邊形AEOF是平行四邊形．∴AF∥OE
又OE?平面PEC，AF?平面PEC
∴AF∥平面PEC
（Ⅱ）連接AC
∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直線PC與平面ABCD所成的角
在Rt△PAC中，tan∠PCA=

PA

AC

=

1

5

=

5

5

即直線PC與平面ABCD所成的角正弦值為

6

6

（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延長線于M．連接PM，由三垂線定理．得PM⊥CE
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角．
由△AME∽△CBE，可得AM=

2

2

，∴tan∠PMA=

PA

AM

=

2

∴二面角P一EC一D的余弦值為

6

6