Question

設函數(shù)f(x)=

2x

x2+1

，g(x)=x3-3ax+

7

8

，若對于任意x₁∈[-

1

2

，

1

2

]，總存在x₂∈[-

1

2

，

1

2

]，使得g（x₂）=f（x₁）成立．則正整數(shù)a的最小值為

 

．

Answer 1

分析：此題考查的是函數(shù)的值域的問題．在解答時可以先利用f（x）的條件轉化出在[-

1

2

，

1

2

]上的值域，然后結合函數(shù)g（x）的性質(zhì)找出函數(shù)g（x）在[-

1

2

，

1

2

]對應的范圍，從而獲的a的關系式，找出a的最小值．

解答：解：由題意可知：f′(x)=

2-2x2

(x2+1)2

，令導數(shù)大于0，可解得-1＜x＜1，所以函數(shù)f(x)=

2x

x2+1

在[-

1

2

，

1

2

]上是增函數(shù)
∴f(x)∈[-

4

5

，

4

5

]，
又∵g(x)=x3-3ax+

7

8

，
∴g′（x）=3x²-3a，當a是正整數(shù)時，令g′（x）=3x²-3a≥0得x≥a，或x≤-a，故函數(shù)在[-

1

2

，

1

2

]是減函數(shù)，
所以g(x)=x3-3ax+

7

8

∈[1-

3

2

a，

3

4

+

3

2

a]
又對于任意x₁∈[-

1

2

，

1

2

]，總存在x₂∈[-

1

2

，

1

2

]，使得g（x₂）=f（x₁）成立．
∴[-

4

5

，

4

5

]⊆[1-

3

2

a，

3

4

+

3

2

a]即

3

4

+

3

2

a≥

4

5

且-

4

5

≥1-

3

2

a同時成立，解得a≥

6

5

所以正整數(shù)a的最小值為2．
故答案為：2．

點評：此題考查的是函數(shù)的值域的問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想、恒成立的思想以及問題轉化的思想．值得同學們體會反思．