Question

（Ⅰ）求（x²+1）（x-2）⁵展開式中含x⁶項的系數．
（Ⅱ）若（x²+1）（x-2）⁵=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₇（x-1）⁷，求a₀+a₁+a₂+…+a₇．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意可知，（x²+1）（x-2）⁵展開式中含x⁶項的系數就是（x-2）⁵展開式中含x⁴項的系數，利用二項展開式的系數的性質可求得答案；
（Ⅱ）令x=1，求得a₀，再令x=2，即可求得a₀+a₁+a₂+…+a₇．

解答：解：（Ⅰ）∵（x²+1）（x-2）⁵展開式中含x⁶項的系數就是（x-2）⁵展開式中含x⁴項的系數-------------------------------------------（2分）
∴所求的系數是

C

1 5

×（-2）=-10-------------------------------（5分）
（Ⅱ）∵（x²+1）（x-2）⁵=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₇（x-1）⁷
∴當x=1時，a₀=-2-----------------------------------------------（8分）
∴當x=2時，a₀+a₁+a₂+…+a₇=0-------------------------------（11分）
∴a₁+a₂+…+a₇=-a₀=2--------------------------------------------（12分）

點評：本題考查二項式定理的應用，著重考查賦值法的應用，考查理解、轉化與運算能力，屬于中檔題．