Question

已知函數 ．
（Ⅰ）若曲線y=f(x)在(1，f(1))處的切線與直線x+y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若a>0，函數y=f(x)在區間(a，a ²-3)上存在極值，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若a>2，求證：函數y=f(x)在(0，2)上恰有一個零點．

Answer 1

（1）                 （2）
（3）先結合導數分析證明函數f(x)在(0，2)內單調遞減．那么得到結論。

試題分析：．解：（Ⅰ），     1分
，                     2分
因為曲線y=f(x)在(1，f(1))處的切線與直線x+y+1=0平行
所以，                  3分
所以．                            4分
（Ⅱ）令，      5分
即，所以 或．                       6分
因為a>0，所以不在區間(a，a²-3)內，
要使函數在區間(a，a ²-3)上存在極值，只需．             7分
所以．                                              9分
（Ⅲ）證明：令，所以 或．
因為a>2，所以2a>4，                                              10分
所以在(0，2)上恒成立，函數f(x)在(0，2)內單調遞減．
又因為，，                    11分
所以f(x)在(0，2)上恰有一個零點．                                12分
點評：主要考查了導數在研究函數中的運用，屬于基礎題。