Question

（2013•樂山一模）濟(jì)南高新區(qū)引進(jìn)一高科技企業(yè)，投入資金720萬元建設(shè)基本設(shè)施，第一年各種運(yùn)營費(fèi)用120萬元，以后每年增加40萬元；每年企業(yè)銷售收入500萬元，設(shè)f（n）表示前n年的純收入．（f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額）
（Ⅰ）從第幾年開始獲取純利潤？
（Ⅱ）若干年后，該企業(yè)為開發(fā)新產(chǎn)品，有兩種處理方案：
①年平均利潤最大時(shí)，以480萬元出售該企業(yè)；
②純利潤最大時(shí)，以160萬元出售該企業(yè)；
問哪種方案最合算？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)第一年各種運(yùn)營費(fèi)用120萬元，以后每年增加40萬元，可知每年的運(yùn)營費(fèi)用是以120為首項(xiàng)，40為公差的等差數(shù)列，利用f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額，可確立函數(shù)的解析式，進(jìn)而可建立不等式，從而可求從第幾年開始獲取純利潤．
（Ⅱ）①求出年平均利潤，利用基本不等式，可求此方案獲利最大值的時(shí)間；②f（n）=-20n²+400n-720=-20（n-10）²+1280，利用配方法，求此方案獲利最大值的時(shí)間，比較即可得出結(jié)論．

解答：解：由題意知每年的運(yùn)營費(fèi)用是以120為首項(xiàng)，40為公差的等差數(shù)列．設(shè)純利潤與年數(shù)的關(guān)系為f（n），
設(shè)f(n)=500n-[120n+

n(n-1)

2

×40]-720=-20n2+400n-720．------（3分）
（Ⅰ）獲取純利潤就是要求f（n）＞0，故有-20n²+400n-720＞0，解得2＜n＜18．又n∈N^*，知從第三年開始獲取純利潤．-----------------（5分）
（Ⅱ）①年平均利潤

f(n)

n

=400-20(n+

36

n

)≤160，當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)取等號(hào)．故此方案獲利6×160+480=1440（萬元），此時(shí)n=6．-----------------（7分）
②f（n）=-20n²+400n-720=-20（n-10）²+1280，當(dāng)n=10時(shí)，f（n）_max=1280．
故此方案共獲利1280+160=1440（萬元）．-----------------（9分）
比較兩種方案，在同等數(shù)額獲利的基礎(chǔ)上，第①種方案只需6年，第②種方案需要10年，故選擇第①種方案．-----------------（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列模型，考查基本不等式的運(yùn)用，考查二次函數(shù)最值的研究，解題的關(guān)鍵是建立數(shù)列模型，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笞钪担?/div>