Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1．
（1）求直線DF與平面ACEF所成角的正弦值；
（2）在線段AC上找一點P，使

PF

與

DA

所成的角為60°，試確定點P的位置．

Answer 1

分析：（1）以

CD

 ， 

CB

 ， 

CE

為正交基底，建立如圖空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，求面ACEF的一個法向量

n

，直線DF與平面ACEF所成角的正弦值，即求|c0s＜

DF

，

n＞

|；（2）設出點 P的坐標，求出

PF

與

DA

，根據向量的數量積的定義求得點P的坐標，確定點P的位置．

解答：解：（1）以

CD

，

CB

，

CE

為正交基底，建立如圖空間直角坐標系，
則E(0，0，1)，D(

2

，0，0)，B(0，

2

，0)，A(

2

，

2

，0)，F(

2

，

2

，1)，
因為AC⊥BD，AF⊥BD，
所以

BD

是平面ACEF法向量，
又因為

DB

=(-

2

，

2

，0)，

DF

=(0，

2

，1)，
所以cos?

DF

，

DB

＞=

3

3

，
故直線DF與平面ACEF所成角正弦值為

3

3

．

（2）設P（a，a，0）(0≤a≤

2

)，則

PF

=(

2

-a，

2

-a，1)，

DA

=(0，

2

，0)．
因為＜

PF

，

DA

＞=60°，所以cos60°=

2 ( 2 -a)

2 × 2( 2 -a)2+1

=

1

2

．
解得a=

2

2

，故存在滿足條件的點P為AC的中點．

點評：考查利用空間向量求線面角和異面直線所成的角，注意①線面角與斜線和面的法向量所成角之間的關系，及異面直線所成角的范圍，②用空間向量解立體幾何問題的步驟；①建系，②立體幾何問題向量化，③解向量問題，④回歸立體幾何問題，屬中檔題．