Question

已知向量

a

=（sinx，

3

4

），

b

=（cosx，-1）．
（1）當

a

∥

b

時，求cos²x-sin2x的值；
（2）設函數f（x）=2（

a

+

b

）•

b

，求f（x）的值域．（其中x∈（0，

7π

24

））

Answer 1

分析：（1）由

a

∥

b

，利用向量平行的坐標表示可求tanxx，代入cos²x-sin2x=

cos2x-2sinxcosx

cos2x+sin2x

=

1-2tanx

1+tan2x

可求
（2）利用向量的數量積的坐標表示及輔助角公式對函數化簡可得f（x）=2（

a

+

b

）•

b

═

2

sin(2x+

π

4

)+

3

2

，結合已知x∈（0，

7π

24

）及正弦函數的性質可求函數的值域

解答：解：（1）∵

a

∥

b

∴

3

4

cosx+sinx=0
∴tanx=-

3

4

∴cos²x-sin2x=

cos2x-2sinxcosx

cos2x+sin2x

=

1-2tanx

1+tan2x

=

8

5

（2）∵f（x）=2（

a

+

b

）•

b

=2sinxcosx+2cos²x+

1

2

=sin2x+cos2x+

3

2

=

2

sin(2x+

π

4

)+

3

2

∵x∈（0，

7π

24

））
∴2x+

π

4

∈(

π

4

，

5π

6

)
∴sin(2x+

π

4

)∈(

1

2

，1]
∴f（x）∈（

3+ 2

2

，

2

+

3

2

]

點評：本題主要考查了二倍角公式、輔助角公式及通角平方 關系等三角公式的綜合應用在化簡三角函數中的應用，正弦函數的性質的應用是求解（2）的關鍵