Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣alnx+b，a，b為實數．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x+3，求a，b的值；
（Ⅱ）若|f′（x）|＜ 對x∈[2，3]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）f′（x）=1﹣ ， ∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x+3，
∴f′（1）=2，f（1）=5，
∴ ，解得a=﹣1，b=4．
（II）∵|f′（x）|＜ 對x∈[2，3]恒成立，即|1﹣ |＜ 對x∈[2，3]恒成立，
∴|x﹣a|＜ 對x∈[2，3]恒成立，
∴x﹣ ＜a＜x+ 對x∈[2，3]恒成立，
設g（x）=x﹣ ，h（x）=x+ ，x∈[2，3]，
則g′（x）=1+ ＞0，h′（x）=1﹣ ＞0，
∴g（x）在[2，3]上是增函數，h（x）在[2，3]上是增函數，
∴gmax（x）=g（3）=2，hmin（x）=h（2）= 三．
∴a的取值范圍是[2， ]．
【解析】（I）根據導數的幾何意義可得f′（1）=2，f（1）=5，列方程組解出a，b即可；（II）分離參數得出x﹣ ＜a＜x+ ，分別求出左側函數的最大值和右側函數的最小值即可得出a的范圍．