Question

如圖，多面體ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的邊長為2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=2，CD=4．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）試在平面CDE上確定點P，欲使點P到直線DC、DE的距離相等，且AP與平面BEF所成的角等于30°．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證BC⊥平面BDE，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BC與平面BDE內兩相交直線垂直，根據面面垂直的性質可知ED⊥平面ABCD，則ED⊥BC，根據勾股定理可知BC⊥BD，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）DE，DA，DC兩兩垂直，以D為頂點，DA，DC，DE分別為x軸y軸z軸，建立直角坐標系D-xyz，求出D，A，E，B，F，以及，，設P（o，y，z）通過|y|=|z|．設是平面BEF的法向量，利用，求出，推出與所成的角為60°或120°．通過cos=和y|=|z|．求出P的坐標．
解答：解：（Ⅰ）在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又因為平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．
所以ED⊥BC．（3分）
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得．
在△BCD中，，
所以BD²+BC²=CD²．
所以BC⊥BD．（5分）
所以BC⊥平面BDE．（6分）
（Ⅱ）DE，DA，DC兩兩垂直，以D為頂點，DA，DC，DE分別為x軸y軸z軸，建立直角坐標系D-xyz，
則D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），B（2，2，0），F（2，0，2）=（2，0，0），設P（o，y，z）則|y|=|z|．
令是平面BEF的法向量，則，
∴
令y′=1，得
∴
∵AP與平面BEF所成的角等于30°
∴與所成的角為60°或120°．
∴cos===．
∴y²+z²+4yz-4=0
又∵|y|=|z|．
∴y=z或y=-z，當y=z時y=z=，
當y=-z時，上式無解，
∴P（0，），或P（0，-）．
點評：本題考查直線與平面垂直，直線與平面所成的角，空間向量的運算，考查空間想象能力，計算能力已經邏輯推理能力．