Question

給出下列4個命題：
①函數f（x）=x|x|+ax+m是奇函數的充要條件是m=0；
②若函數f（x）=lg（ax+1）的定義域是{x|x＜1}，則a＜-1；
③函數f（x）=e^-xx²的極小值為f（0），極大值為f（2）；
④圓：x²+y²-10x+4y-5=0上任意點M關于直線ax-y-5a=2的對稱點M'也在該圓上．
所有正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：分別討論各個選項的正確與錯誤：利用函數奇偶的定義，得出①是真命題；根據對數函數的性質及不等式的等價變形法則，得出②是假命題；根據利用導數求函數的極值的理論，得出③是真命題；通過計算圓的圓心坐標與直線方程經過定點，發現直線經過圓的圓心，得到④為真命題．

解答：解：對于①，若函數f（x）=x|x|+ax+m是奇函數，則f（0）=m=0，說明充分性成立
反過來，若m=0，則f（x）=x|x|+ax，滿足f（-x）=-x|x|-ax=-f（x），
函數是奇函數，故①正確；
對于②，函數f（x）=lg（ax+1）的定義域是{x|ax+1＞0}，
由題意，若函數定義域是{x|x＜1}，說明a=-1，而不是a＜-1，故②錯；
對于③，函數f（x）=e^-xx²=

x 2

e x

，求導數得：f/(x)=

e x(2x-x2)

e2x

=

x(2-x)

e x

當x＜0或x＞2時，f′（x）0，函數為減函數，
因此，函數的極小值為f（0），極大值為f（2），故③正確；
對于④，直線ax-y-5a=2當x=5時y=-2成立，說明直線經過定點A（5，-2），
而圓：x²+y²-10x+4y-5=0的圓心坐標為A（5，-2），直線經過圓的圓心，
可得圓x²+y²-10x+4y-5=0關于直線ax-y-5a=2對稱，故④正確．
故答案為：①③④

點評：本題考查了函數在某點取得極值的條件、命題的真假判斷與應用和直線與圓位置關系等知識點，屬于中檔題．本題綜合的知識較多，是一道易錯題．