Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形， 平面， 分別為的中點，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求三棱錐與四棱錐的體積之比.

Answer 1

【答案】（1）證明過程詳見解析（2）證明過程詳見解析；（3）1：4

【解析】

(1)由三角形中位線定理可得，由正方形的性質可得，，由線面平行的判定定理可得平面， 平面，從而可得結果；(2)由線面垂直的性質證明,正方形的性質可得，結合，可得平面，從而可得平面平面 ；(3)求出，則，得到平面，求出,即即為點到平面的距離，根據三棱錐的體積公式求出體積得到比值.

(1)∵分別為的中點，

∴，

又∵四邊形是正方形，

∴，∴，

∵在平面外， 在平面內，

∴平面， 平面，

又∵都在平面內且相交，

∴平面平面.

(2)證明：由已知平面，

∴平面.

又平面，∴.

∵四邊形為正方形，∴，

又，∴平面，

在中，∵分別為的中點，

∴，∴平面.

又平面，∴平面平面.

(3)解：∵平面，四邊形為正方形，，則.

∵平面，且，

∴即為點到平面的距離，

∴=