Question

【題目】已知 ．
（1）請寫出fn（x）的表達式（不需證明）；
（2）設fn（x）的極小值點為Pn（xn ， yn），求yn；
（3）設 ，gn（x）的最大值為a，fn（x）的最小值為b，求b﹣a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：（Ⅰ）fn（x）=（x+n）ex（n∈N*）．
（2）解：∵fn′（x）=（x+n+1）ex，

∴當x＞﹣（n+1）時，fn′（x）＞0；當x＜﹣（n+1）時，fn′（x）＜0．

∴當x=﹣（n+1）時，fn（x）取得極小值fn[﹣（n+1）]=﹣e﹣（n+1）

，即yn=﹣e﹣（n+1）（n∈N*）．

（3）解：∵gn（x）=﹣[x+（n+1）]2+（n﹣3）2

∴a=+（n﹣3）2，

又b=﹣e﹣（n+1），

∴a﹣b=（n﹣3）2+e﹣（n+1），

令h（x）=（x﹣3）2+e﹣（x+1）（x≥0），則h'（x）=2（x﹣3）﹣e﹣（x+1）．

∵h'（x）在[0，+∞）單調遞增，∴h'（x）≥h'（0）=﹣6﹣e﹣1，

∵h'（3）=﹣e﹣4＜0，h'（4）=2﹣e﹣5＞0，

∴存在x0∈（3，4）使得h'（x0）=0．

∵h'（x）在[0，+∞）單調遞增，

∴當0≤x＜x0時，h'（x0）＜0；當x＞x0時，h'（x0）＞0，

即h（x）在[x0，+∞）單調遞增，在[0，x0）單調遞減，

∴（h（x））min=h（x0），

又∵h（3）=e﹣4，h（4）=1+e﹣5，h（4）＞h（3），

∴當n=3時，a﹣b取得最小值e﹣4

【解析】（1）根據導數寫出f1（x），f2（x）歸納出fn（x）；（2）由（1）知fn（x）的表達式，要求極值點，就要借助導函數，令導函數為0，解出xn ， 驗證是極值后代入解析式即可求出yn ． （3）類比求fn（x）的極小值的過程求出gn（x）的極大值，進而求出最值即可．
【考點精析】利用函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．