Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在上是單調函數，求實數的取值范圍；

（2）當時，為函數在上的零點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）或.（2）見解析

【解析】

（1）先求導，根據函數在上是單調函數，轉化為在上恒成立，即，在上恒成立，即，令，用導數法求導其最值即可.

（2）由時，，則，易得 在上單調遞增，由，得到在上單調遞減，結合，，，進一步確定，將證明，轉化為證，令，，用導數法證即可.

（1），

當函數在上單調遞減，

則在上恒成立，即，

設，，

則.

因為，

所以.

當時，，函數單調遞增；

當時，，函數單調遞減.

所以，故.

當函數在上單調遞增時，

則在上恒成立，即，

由上可知，故.

綜上所述，實數的取值范圍為或.

（2）當時，，故，

，由于和在上單調遞增，

∴在上單調遞增，

∴，故在上單調遞減.

又，，

∴存在唯一的，使得，

∴在單調遞增，在單調遞減.

又，，，

∴函數在上的零點，

即.

要證，

即證.

設，，

則.

顯然在上恒成立，

所以在上單調遞增.

∴，故原不等式得證.