Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AC=AA₁，CD⊥AC₁，E、F分別是BB₁、CC₁中點．
（1）證明：平面DEF∥平面ABC；
（2）證明：CD⊥平面AEC₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意易證D為AC₁的中點，進而可得以DF∥AC，DF∥平面ABC，同理可證EF∥平面ABC，由平面與平面平行的判定定理可得；（2）設AB=2，則DF=1，EF=2，∠DFE=∠ACB=60°，由余弦定理可得DE=，又可得CD=，CE==，故有CD²+DE²=CE²，由勾股定理可得CD⊥DE，又CD⊥AC₁，由線面垂直的判定可得．
解答：（1）證明：由題意可知CA=CC₁，又CD⊥AC₁，
由等腰三角形的性質可知D為AC₁的中點，
又F為CC₁的中點，所以DF∥AC，
又AC?平面ABC，所以DF∥平面ABC，
同理可證：EF∥平面ABC，又DF∩EF=F，
所以平面DEF∥平面ABC；
（2）設AB=2，則DF=1，EF=2，∠DFE=∠ACB=60°，
由余弦定理可得：DE²=1²+2²=3，∴DE=，
∵CD為直角三角形ACC₁斜邊AC₁的中線，
∴CD=，CE==，
所以CD²+DE²=CE²，由勾股定理可得CD⊥DE，
又CD⊥AC₁，AC₁∩DE=D，所以CD⊥平面AEC₁．
點評：本題考查平面與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，屬中檔題．