Question

【題目】設f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|． （Ⅰ）解不等式f（x）≤2；
（Ⅱ）若對任意實數x∈[5，9]，f（x）≤ax﹣1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|≤2， ∴當x＜3時，3﹣x+4﹣x≤2，
解得：x≥ ，又x＜3，∴ ≤x＜3；
當3≤x≤4時，x﹣3+4﹣x≤2，即1≤2恒成立，∴3≤x≤4；
當x＞4時，x﹣3+x﹣4≤2，解得：x≤ ，又x＞4，∴4＜x≤ ；
綜上所述， ≤x≤ ，即原不等式的解集為{x| ≤x≤ }．
（Ⅱ）∵x∈[5，9]，∴f（x）≤ax﹣1恒成立2x﹣7≤ax﹣1（5≤x≤9）恒成立a≥ =2﹣ （5≤x≤9）恒成立，
∴a≥ ．
∵g（x）=2﹣ 在區間[5，9]上單調遞增，
∴g（x）max=g（9）=2﹣ = ．
∴a≥ ．
【解析】（Ⅰ）通過對x取值的分類討論，去掉絕對值符號，即可求得不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）利用等價轉化思想，可得f（x）≤ax﹣1恒成立2x﹣7≤ax﹣1（5≤x≤9）恒成立a≥ =2﹣ （5≤x≤9）恒成立，構造函數g（x）=2﹣ ，利用其單調性可求得它的最大值，從而可得實數a的取值范圍．
【考點精析】利用絕對值不等式的解法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．