Question

已知函數
（1）判斷并證明y=f（x）在x∈（0，+∞）上的單調性；
（2）若存在x，使f（x）=x，則稱x為函數f（x）的不動點，現已知該函數有且僅有一個不動點，求a的值，并求出不動點x；
（3）若f（x）＜2x在x∈（0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數的表達式進行化簡，然后根據函數單調性的定義進行判斷．
（2）令轉化為二次函數，根據該函數有且僅有一個不動點，令判別式等于0即可求出a的值．
（3）將函數解析式代入f（x）＜2x中，整理為，在根據基本不等式的知識求出的最小值，令此最小值大于，即可求出a的范圍．
解答：解：（1）
對任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＞x₂

∵x₁＞x₂＞0
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，函數y=f（x）在x∈（0，+∞）上單調遞增．
（2）解：令，
令（負值舍去）
將代入ax²-x+a=0得
（3）∵f（x）＜2x
∴
∵x＞0
∴（等號成立當）
∴
∴a的取值范圍是
點評：本題主要考查函數單調性的定義和基本不等式的應用．考查計算能力和綜合運用能力．