Question

已知正三棱錐S-ABC，一個正三棱柱的一個底面的三個頂點在棱錐的三條側棱上，另一底面在正三棱錐的底面上，若正三棱錐的高為15cm，底面邊長為12cm，內接正三棱柱的側面積為120cm²，
（1）求正三棱柱的高；
（2）求棱柱上底面截的小棱錐與原棱錐側面積的比．

Answer 1

分析：（1） 設內接正三棱柱的高為 x，底面的邊長為 a，由直角三角形相似及內接正三棱柱的側面積，解方程求出正三棱柱的高．
（2） 利用兩個棱錐的側面積之比等于對應的相似比的平方，相似比為

15 -x

15

，把x=10或x=5代入可求得棱柱上底面截的小棱錐與原棱錐側面積的比．

解答：解：（1）設內接正三棱柱的高為 x，底面的邊長為 a，
由直角三角形相似得

15-x

15

=

2 3 × 3 2 a

2 3 × 3 2 ×12

，
∴a=

60-4x

5

，內接正三棱柱的側面積為：120=3a•x=3

60-4x

5

 x，
x²-15x+50=0，∴x=10 或 x=5．
∴正三棱柱的高為10cm或5cm．
（2）兩個棱錐的側面積之比等于對應的相似比的平方，相似比為

15 -x

15

，
當x=10 時，相似比為

1

3

，故兩個棱錐的側面積之比等于

1

9

，
當x=5時，相似比為

2

3

，故兩個棱錐的側面積之比等于

4

9

，
故棱柱上底面截的小棱錐與原棱錐側面積的比為：1：9或4：9．

點評：本題考查棱柱、棱錐的側面積的求法，面積比與相似比的關系．