Question

令f（n）=log_（n+1）（n+2）（n∈N^*），如果對k（k∈N^*）滿足f（1）f（2）…f（k）為整數，則稱k為“好數”，那么區間[1，2007]內所有“好數”的和M是

2026

．

Answer 1

分析：先利用換底公式與疊乘法把f（1）f（2）…f（k）化為log₂（k+2），再根據f（1）f（2）…f（k）為整數，可得k=2ⁿ-2，進而由等比數列的前n項和公式可得結論．

解答：解：∵f（n）=log_（n+1）（n+2），
∴f（1）f（2）…f（k）=

log23

log22

×

log24

log23

×…×

log2(k+2)

log2(k+1)

=log₂（k+2）．
又f（1）f（2）…f（k）為整數，∴k+2必須是2的n次冪（n∈N^*）的形式，
即k=2ⁿ-2．
∴區間[1，2007]內所有“好數”的和
M=（2²-2）+（2³-2）+…+（2¹⁰-2）
=（2²+2³+…+2¹⁰）-2×9=

4(1-29)

1-2

-18=2026．
故答案為2026．

點評：本題考查了新定義，考查了對數的運算性質，考查了疊乘法，是中檔題．