Question

設函數（），其中．
（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）當時，求函數的極大值和極小值；
（Ⅲ）當， 時，若不等式對任意的恒成立,求的值。

Answer 1

解：當時，，得，且
，．
所以，曲線在點處的切線方程是，整理得
．
（Ⅱ）解：
．
令，解得或．
由于，以下分兩種情況討論．
（1）若，當變化時，的正負如下表：

因此，函數在處取得極小值，且；
函數在處取得極大值，且．
（2）若，當變化時，的正負如下表：

因此，函數在處取得極小值，且；
函數在處取得極大值，且．
（Ⅲ）證明：由，得，當時，
，．
由（Ⅱ）知，在上是減函數，要使，
只要
即　　　　　　　　①
設，則函數在上的最大值為．
要使①式恒成立，必須，即或．
所以，在區(qū)間上存在，使得對任意的恒成立．

略