Question

已知函數(shù)f（x）=log_m（2-x）+1（m＞0，且m≠1）的圖象恒過點P，且點P在直線ax+by=1（a＞0，b＞0）上，那么ab的（　　）

• A、最大值為

  1

  4

• B、最小值為

  1

  4

• C、最大值為

  1

  2

• D、最小值為

  1

  2

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：求出函數(shù)f（x）的圖象恒過點P的坐標(biāo)，把點P代入直線方程，利用基本不等式求出ab的最值．

解答：解：當(dāng)2-x=1，即x=1時，y=f（1）=log_m（2-1）+1=1，
∴函數(shù)f（x）的圖象恒過點P（1，1）；
又點P在直線ax+by=1（a＞0，b＞0）上，
∴a+b=1，
∴ab≤(

a+b

2

)2=

1

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

1

2

時，“=”成立．
故答案為：A．

點評：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)根據(jù)對數(shù)函數(shù)恒過定點（1，0）求出定點坐標(biāo)，再求目標(biāo)函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題．