Question

已知數集A={a₁，a₂，…，a_n}（1=a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥4）具有性質P：對任意的k（2≤k≤n），?i，j（1≤i≤j≤n），使得a_k=a_i+a_j成立．
（Ⅰ）分別判斷數集{1，2，4，6}與{1，3，4，7}是否具有性質P，并說明理由；
（Ⅱ）求證：a₄≤2a₁+a₂+a₃；
（Ⅲ）若a_n=72，求n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據性質P直接驗證即可．
（Ⅱ）由于集合A={a₁，a₂，…，a_n}具有性質P，于是對a₄而言，存在a_i，a_j∈{a₁，a₂，…，a_n}，使得 a₄=a_i+a_j，可得a₄≤2a₃，同理可得a₃≤2a₂，a₂≤2a₁，進而可得結論．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知a₂≤2a₁，a₃≤2a₂…，得a₂≤2，…，a₇≤64＜72，所以n≥8．按照性質P去構造數集A即可．

解答：解：（Ⅰ）因為2=1+1，4=2+2，6=2+4，所以{1，2，4，6}具有性質P．
因為不存在a_i，a_j∈{1，3，4，7}，使得3=a_i+a_j．
所以{1，3，4，7}不具有性質P．
（Ⅱ）因為集合A={a₁，a₂，…，a_n}具有性質P，
所以對a₄而言，存在a_i，a_j∈{a₁，a₂，…，a_n}，使得 a₄=a_i+a_j
又因為1=a₁＜a₂＜a₃＜a₄…＜a_n，n≥4
所以a_i，a_j≤a₃，所以a₄=a_i+a_j≤2a₃．
同理可得a₃≤2a₂，a₂≤2a₁
將上述不等式相加得a₂+a₃+a₄≤2（a₁+a₂+a₃）
所以a₄≤2a₁+a₂+a₃．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知a₂≤2a₁，a₃≤2a₂…，
又a₁=1，所以a₂≤2，a₃≤4，a₄≤8，a₅≤16，a₆≤32，a₇≤64＜72
所以n≥8
構造數集A={1，2，4，5，9，18，36，72}（或A={1，2，3，6，9，18，36，72}），
經檢驗A具有性質P，故n的最小值為8．

點評：正確理解數集A={a₁，a₂，…，a_n}（1=a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥4）具有性質P及會演繹推理是解題的關鍵．