Question

某高校組織的自主招生考試，共有1000名同學參加筆試，成績均介于60分到100分之間，從中隨機抽取50名同學的成績進行統計，將統計結果按如下方式分為4組：第1組[60，70），第2組[70，80），第3組[80，90），第4組[90，100]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，且筆試成績在85分（含85分）以上的同學有面試資格．
（Ⅰ）估計所有參加筆試的1000名同學中，有面試資格的人數；
（Ⅱ）已知某中學有甲、乙兩位同學取得面試資格，且甲的筆試比乙的高；面試時，要求每人回答兩個問題，假設甲、乙兩人對每一個問題答對的概率均為；若甲答對題的個數不少于乙，則甲比乙優先獲得高考加分資格．求甲比乙優先獲得高考加分資格的概率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由頻率和等于1求出筆試成績在[90，100]的頻率，得到成績在在85分（含85分）以上的同學的頻率，用頻率乘以1000得到有面試資格的人數；
（Ⅱ）用列舉法寫出甲、乙兩人對每一個問題回答正確與錯誤的所有情況，查出甲答對題的個數不少于乙答對題個數的情況數，然后直接利用古典概型概率計算公式求解．
解答：解：（Ⅰ）設第i（i=1，2，3，4）組的頻率為f_i，則由頻率分布直方圖知
f₄=1-（0.014+0.03+0.036）×10=0.2
所以成績在85分（含85分）以上的同學的概率P≈f₃+f₄=0.018×10+0.2=0.38，
故這1000名同學中，取得面試資格的約有1000×0.38=380人．
（Ⅱ）設答對記為1，打錯記為0，則所有可能的情況有：
甲₀₀乙₀₀，甲₀₀乙₁₀，甲₀₀乙₀₁，甲₀₀乙₁₁，甲₁₀乙₀₀，甲₁₀乙₁₀，甲₁₀乙₀₁，
甲₁₀乙₁₁，甲₀₁乙₀₀，甲₀₁乙₁₀，甲₀₁乙₀₁，甲₀₁乙₁₁，甲₁₁乙₀₀，甲₁₁乙₁₀，
甲₁₁乙₀₁，甲₁₁乙₁₁，共16個．
甲答對題的個數不少于乙的情況有：
甲₀₀乙₀₀，甲₁₀乙₀₀，甲₁₀乙₁₀，甲₁₀乙₀₁，甲₀₁乙₀₀，甲₀₁乙₁₀，甲₀₁乙₀₁，
甲₁₁乙₀₀，甲₁₁乙₀₁，甲₁₁乙₁₀，甲₁₁乙₁₁，共11個．
故甲比乙優先獲得高考加分資格的概率為．
點評：本題考查了頻率分布直方圖，考查了古典概型及其概率計算公式，解答的關鍵是做到列舉時不重不漏，是基礎題．