Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n和通項公式a_n滿足S_n=

1

2

（1-a_n）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足b_n=na_n，求T_n=b₁+b₂+…+b_n的值．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）首先利用前n項和公式證明數列是等比數列，進一步求出通項公式．
（2）利用（1）的結論求出新數列的通項，進一步利用乘公比錯位相減法求數列的和．

解答： 解：（1）當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

2

(1-an)-

1

2

(1-an-1)
所以：3a_n=a_n-1
即：

an

an-1

=

1

3

所以數列{a_n}是以a₁為首項，公比是

1

3

的等比數列．
當n=1時，求出s1=a1=

1

3

an=

1

3

•(

1

3

)n-1=

1

3

n
（2）由（1）知：bn=nan=n

1

3

n
所以：T=1×

1

3

+2×(

1

3

)2+…+n×(

1

3

)n①

1

3

Tn=1×(

1

3

)2+2×(

1

3

)3+…+n×(

1

3

)n+1②
①-②得：

2

3

Tn=

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-n(

1

3

)n+1
解得：Tn=

1

2

-(

3

2

+n)(

1

3

)n+1
即：Tn=

3

4

-(

3

4

+

n

2

)(

1

3

)n

點評：本題考查的知識要點：利用前n項和公式求數列的通項公式，乘公比錯位相減法的應用．屬于基礎題型．