Question

【題目】設函數.

（1）若函數是奇函數，求實數的值；

（2）若對任意的實數，函數（為實常數）的圖象與函數的圖象總相切于一個定點.

① 求與的值；

② 對上的任意實數，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）0；（2）①；②．

【解析】試題分析：

(1)由奇函數的 定義得到關于實數a的方程，解方程可得a=0；

(2)由導函數研究函數的 切線可得切點為，切線的方程為，則.

(3)由題意分類討論 和兩種情況可得實數的取值范圍是．

試題解析：

解：（1）因為函數是奇函數，所以恒成立，

即，得恒成立，

.

（2）①，設切點為，

則切線的斜率為，

據題意是與無關的常數，故，切點為， 由點斜式得切線的方程為，即，故.

② 當時，對任意的，都有;

當時，對任意的，都有;

故對恒成立，或對恒成立.

而，設函數.

則對恒成立，或對恒成立， ，

當時, ,,恒成立,所以在上遞增, ,

故在上恒成立，符合題意. 當時，令，得，令，得,

故在上遞減，所以，

而設函數，

則， 恒成立，

在上遞增， 恒成立，

在上遞增， 恒成立，

即，而，不合題意.

綜上，知實數的取值范圍.