Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若= + ，則+的最大值為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：如圖：以A為原點，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標系，先求出圓的標準方程，再設點P的坐標為（cosθ+1，sinθ+2），根據=λ+μ，求出λ，μ，根據三角函數的性質即可求出最值．

詳解：如圖：以A為原點，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標系，

則A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），

∵動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上，

設圓的半徑為r，

∵BC=2，CD=1，

∴BD==

∴BCCD=BDr，

∴r=，

∴圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2=，

設點P的坐標為（cosθ+1，sinθ+2），

∵=λ+μ，

∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），

∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，

∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，

∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，

∴1≤λ+μ≤3，

故λ+μ的最大值為3，

故答案為：3．