Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）當時，若關于的方程有唯一實數解，試求實數的取值范圍；

（3）若函數有兩個極值點，，且不等式恒成立，試求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】

（1）對函數求導，求出的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得在點的切線方程；（2）原方程等價于，對求導得到函數單調區間,可知當時，；當時，,結合單調性可得到實數的取值范圍；（3）對函數求導，可得，恒成立恒成立，將用替換，并構造函數，對求導可求得函數在上的最小值，即可知道實數的取值范圍.

(1)當時，有,

，

,

過點的切線方程為，即.

（2）當時，有，其定義域為，

從而方程,可化為，令，

則，

由或,

在和上單調遞增，在上單調遞減，

且，

又當時，；當時，,

關于的方程有唯一實數解，所以實數的取值范圍是或.

（3）的定義域為，

令,

又因為函數有兩個極值點，

有兩個不等實數根，

，且，

從而,

由不等式恒成立恒成立，

，

令,，

當時恒成立，所以函數在上單調遞減，，故實數的取值范圍是.