Question

已知三角形ABC的兩頂點A、B分別是曲線x²+5y²=5的左右焦點，且內角滿足

sinA

sinB

=

2 -cosA

2 +cosB

．
（1）求頂點C的軌跡方程E；
（2）若x軸上有兩點M(2，0)，N（1，0），過N的直線與曲線E的交點是D、E．求k_DM+k_EM的值．

Answer 1

分析：（1）由

sinA

sinB

=

2 -cosA

2 +cosB

，利用三角函數的和角公式化得：

2

sinB-

2

sinA=sinC，再結合正弦定理得出邊的關系式，最后利用雙曲線的定義即可求出頂點C的軌跡E的方程；
（2）設所求直線的方程為l：y=k（x-1），將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用斜率公式即可求得k_DM+k_EM的值，從而解決問題．

解答：解：（1）由

sinA

sinB

=

2 -cosA

2 +cosB

，得

2

sinB-

2

sinA=sinC，|AC|-|BC|=

1

2

|AB|=2

2

＜|AB|，
所以頂點C的軌跡E的方程為x²-y²=2（x＞1）．
（2）設l：y=k（x-1）（斜率不存在時不合題意），D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
由

x2-y2=2 y=k(x-1)

得（1-k²）x²+2k²x-k²-2=0，
則△＞0時，有x1+x2=

2k2

k2-1

，x1•x2=

k2+2

k2-1

．
∴kDM+kEM=

y1

x1-2

+

y2

x2-2

=

1

(x1-2)(x2-2)

[kx2(x1-1)+kx1(x2-1)-2k(x1+x2-2)
=

1

(x1-2)(x2-2)

[2kx1x2-3k(x1+x2)+4k]=

1

(x1-2)(x2-2)

(

2k3+4k

k2-1

-

6k3

k2-1

+4k)=0．

點評：本小題主要考查雙曲線的簡單性質、雙曲線的標準方程、正弦定理等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．