Question

設函數f（x）=e^2x+|e^x-a|，（a為實數，x∈R）．
（1）求證：函數f（x）不是奇函數；
（2）若g（x）=x^a在（0，+∞）單調減，求滿足不等式f（x）＞a²的x的取值范圍；
（3）求函數f（x）的值域（用a表示）．

Answer 1

分析：（1）利用反證法，假設f（x）是奇函數，則f（-x）=-f（x），推出矛盾結果，即可證明函數f（x）不是奇函數；
（2）利用g（x）=x^a在（0，+∞）單調減，求出a的范圍，然后解不等式f（x）＞a²，求出x的取值范圍；
（3）通過當a≤0，0≤a≤

1

2

，a≥

1

2

，分別求函數f（x）的值域（用a表示）即可．

解答：解：（1）證明：假設f（x）是奇函數，則f（-x）=-f（x），
而x∈R，則f（0）=0，而f（0）=e⁰+|e⁰-a|=1+|1-a|≠0，故假設不成立，
從而函數f（x）不是奇函數．
（2）因g（x）=x^a在（0，+∞）單調減，
則a＜0，e^2x+|e^x-a|=e^2x+e^x-a＞a²
則（e^x-a）（e^x+a+1）＞0，
而（e^x-a）＞0，則e^x＞-a-1，
于是x＞ln[-（a+1）]；
（3）設e^x=t，則t＞0，y=f（x）=t²+|t-a|，
當a≤0時，y=f（x）=t²+t-a在t＞0時單調增，則f（x）＞f（0）=-a；
當0≤a≤

1

2

時，y=f（x）=t²+t-a≥f（a）=a²；
當a≥

1

2

時，y=f(x)=t2+t-a≥f(

1

2

)=a-

1

4

；
故當a≤0時，f（x）的值域為（-a，+∞）；
當0≤a≤

1

2

時，f（x）的值域為（a²，+∞）；
當a≥

1

2

時，f（x）的值域為(a-

1

4

，+∞)．

點評：本題考查函數的單調性的應用，函數的值域的求法，分類討論思想的應用，考查轉化思想計算能力．