Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，BA⊥側(cè)面PAD，側(cè)棱PA=PD=

2

，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2．
（1）求PC與平面ABCD所成的角；
（2）求三棱錐A-PCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得PO⊥AD，從而PO⊥平面ABCD，∠PCO是PC與平面ABCD所成的角，由此能求出PC與平面ABCD所成的角為45°．
（2）由V_A-PCD=V_P-ACD，利用等積法能求出三棱錐A-PCD的體積

解答： 解：（1）在△PAD中PA=PD，O為AD中點(diǎn)，∴PO⊥AD
又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD
∵PO?平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，
∴∠PCO是PC與平面ABCD所成的角，
連接BO，CO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD=BC，∴四邊形OBCD是平行四邊形，
∴OB∥DC．
∵AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，
∴OC=1，OB=

2

，
在Rt△POA中，∵AP=

2

，AO=1，∴OP=1，
∴∠PCO=45°，
∴PC與平面ABCD所成的角為45°．
（2）∵PO⊥平面ACD，PO=1，
S_△ACD=

1

2

×AB×AD=

1

2

×1×2=1，
∴三棱錐A-PCD的體積V_A-PCD=V_P-ACD=

1

3

×S△ACD×PO=

1

3

×1×1=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線線垂直、線面垂直、線面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力和探究能力．