Question

（2012•道里區三模）在平面直角坐標系中，已知A1(-

2

，0)，A2(

2

，0)，P(x，y)，M(x，1)，N(x，-2)，若實數λ使得λ2

OM

•

ON

=

A1P

•

A2P

（O為坐標原點）．
（Ⅰ） 求P點的軌跡方程，并討論P點的軌跡類型；
（Ⅱ） 當λ=

2

2

時，是否存在過點B（0，2）的直線l與（Ⅰ）中P點的軌跡交于不同的兩點E，F（E在B，F之間），且[

S△OBE

S△EOF

＞1．若存在，求出該直線的斜率的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由題設條件，知（1-λ²）x²+y²=2（1-λ²），由此進行分類討論能得到P點的軌跡類型．
（Ⅱ）由λ=

2

2

，知P點軌跡方程為

x2

2

+y2=1．S_△OBE：S_△OBF=|x₁|：|x₂|，由

S△OBE

S△EOF

＞1，得

1

2

＜

|x1|

|x2|

＜1．設直線EF直線方程為y=kx+2，聯立方程可得：（1+2k²）x²+8kx+6=0，由此能夠推導出直線的斜率的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵A1(-

2

，0)，A2(

2

，0)，P(x，y)，M(x，1)，N(x，-2)，
實數λ使得λ2

OM

•

ON

=

A1P

•

A2P

（O為坐標原點）．
∴（1-λ²）x²+y²=2（1-λ²），
①λ=±1時方程為y=0軌跡為一條直線，
②λ=0時方程為x²+y²=2軌跡為圓，
③λ∈（-1，0）∪（0，1）時方程為

x2

2

+

y2

2(1-λ2)

=1軌跡為橢圓，
④λ∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時方程為

x2

2

-

y2

2(λ2-1)

=1軌跡為雙曲線．…（6分）
（Ⅱ）∵λ=

2

2

，∴P點軌跡方程為

x2

2

+y2=1．
S_△OBE：S_△OBF=|x₁|：|x₂|
由

S△OBE

S△EOF

＞1，得

S△OBE

S△OBF-S△OBE

＞1，
則

|x1|

|x2|-|x1|

＞1，∴

1

2

＜

|x1|

|x2|

＜1．
設直線EF直線方程為y=kx+2，
聯立方程可得：（1+2k²）x²+8kx+6=0，
∵△=64k²-24（1+2k²）＞0，∴k2＞

3

2

，
∵x₁，x₂同號，∴

|x1|

|x2|

=

x1

x2

x1+x2=-

8k

1+2k2

，x1x2=

6

1+2k2

，…（8分）
設

x1

x2

=m，則

(x1+x2)2

x1x2

=

(m+1)2

m

=

32k2

3+6k2

∈(4，

9

2

)

3

2

＜k2＜

27

10

，k∈(

6

2

，

3 30

10

)∪(-

3 30

10

，-

6

2

)．…（12分）

點評：本題考查曲線類型的判斷，考查直線的斜率的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用．