Question

在△ABC中，求分別滿足下列條件的三角形形狀：
①B=60°，b²=ac；②b²tanA=a²tanB；
③sinC=

sinA+sinB

cosA+cosB

；④（a²-b²）sin（A+B）=（a²+b²）sin（A-B）．

Answer 1

分析：①根據余弦定理可求出a=c，再由B=60°可判斷三角形是等邊三角形．
②根據正弦定理將邊的關系轉化為角的正弦的關系，再由二倍角公式可得到A與B的關系，進而得到答案．
③根據正弦定理將角的正弦關系轉化為邊的關系，再由余弦定理可得三邊滿足勾股數，進而可判斷三角形的形狀．
④利用兩角和公式對等式進行化簡整理，求得

sinAcosB

cosAsinB

=

a2

b2

，利用正弦定理轉化成角的正弦，進而約分求得sin2A=sin2B，進而確定A，B的關系，確定三角形的形狀

解答：解：①由余弦定理cos60°=

a2+c2-b2

2ac

?

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

?a2+c2-ac=ac
∴（a-c）²=0，∴a=c．由a=c及B=60°可知△ABC為等邊三角形．
②由b2tanA=a2tanB?

b2sinA

cosA

=

a2sinB

cosB

?

sinBcosA

sinAcosB

=

b2

a2

=

sin2B

sin2A

∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴A=B或A+B=90°，
∴△ABC為等腰△或Rt△．
③∵sinC=

sinA+sinB

cosA+cosB

，由正弦定理：c（cosA+cosB）=a+b，
再由余弦定理：c×

a2+b2-c2

2bc

+c×

a2+c2-b2

2ac

=a+b
∴（a+b）（c²-a²-b²）=0，∴c²=a²+b²，∴△ABC為Rt△．
④∵（a²-b²）sin（A+B）=（a²+b²）sin（A-B）．
∴（a²-b²）（sinAcosB+cosAsinB）=（a²+b²）（sinAcosB-cosAsinB）．
整理求得a²cosAsinB=b²sinAcosB，
即：

sinAcosB

cosAsinB

=

a2

b2

=

sin2A

sin2B

∴sin2A=sin2B，
∴A=B或A+B=

π

2

∵

a

sinA

=

b

sinB

=2R，
∴△ABC是等腰△或Rt△．

點評：這類判定三角形形狀的問題的一般解法是：由正弦定理或余弦定理將已知條件轉化為只含邊的式子或只含角的三角函數式，然后化簡考查邊或角的關系，從而確定三角形的形狀．有時一個條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以混用．如本例的②④也可用余弦定理，請同學們試試看．