Question

【題目】給出下列命題：
①直線l的方向向量為 =（1，﹣1，2），直線m的方向向量 =（2，1，﹣ ），則l與m垂直；
②直線l的方向向量 =（0，1，﹣1），平面α的法向量 =（1，﹣1，﹣1），則l⊥α；
③平面α、β的法向量分別為 =（0，1，3）， =（1，0，2），則α∥β；
④平面α經過三點A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量 =（1，u，t）是平面α的法向量，則u+t=1．
其中真命題的是 ． （把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：對于①，∵ =（1，﹣1，2）， =（2，1，﹣ ），∴ =1×2﹣1×1+2×（﹣ ）=0，
∴ ⊥ ，
∴直線l與m垂直，①正確；
對于②， =（0，1，﹣1）， =（1，﹣1，﹣1），
∴ =0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0，
∴ ⊥ ，∴l∥α或lα，②錯誤；
對于③，∵ =（0，1，3）， =（1，0，2），
∴ 與 不共線，
∴α∥β不成立，③錯誤；
對于④，∵點A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），
∴ =（﹣1，1，1）， =（﹣1，1，0），
向量 =（1，u，t）是平面α的法向量，
∴ ，
即 ；
則u+t=1，④正確．
綜上，以上真命題的序號是①④．
所以答案是：①④．
【考點精析】關于本題考查的平面的法向量，需要了解若向量所在直線垂直于平面，則稱這向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量才能得出正確答案．