Question

【題目】函數f（x）= ，若曲線f（x）在點（e，f（e））處的切線與直線e2x﹣y+e=0垂直（其中e為自然對數的底數）．
（1）若f（x）在（m，m+1）上存在極值，求實數m的取值范圍；
（2）求證：當x＞1時， ＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）= ，

f（x）在點（e，f（e））處的切線斜率為﹣ ，

由切線與直線e2x﹣y+e=0垂直，

可得f′（e）=﹣ ，即有﹣ =﹣

解得得a=1，

∴f（x）= ，f′（x）=﹣ （x＞0）

當0＜x＜1，f′（x）＞0，f（x）為增函數；

當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）為減函數．

∴x=1是函數f（x）的極大值點

又f（x）在（m，m+1）上存在極值

∴m＜1＜m+1 即0＜m＜1

故實數m的取值范圍是（0，1）

（2）解：不等式 ＞

即為 ＞

令g（x）=

則g′（x）= ，

再令φ（x）=x﹣lnx，則φ′（x）=1﹣ = ，

∵x＞1∴φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函數，

∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，g′（x）＞0，

∴g（x）在（1，+∞）上是增函數，

∴x＞1時，g（x）＞g（1）=2

故 ＞ ．

令h（x）= ，則h′（x）= ，

∵x＞1∴1﹣ex＜0，h′（x）＜0，即h（x）在（1，+∞）上是減函數

∴x＞1時，h（x）＜h（1）= ，

所以 ＞h（x），即 ＞

【解析】（1）求出f（x）的導數，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件可得a=1，求導數，求單調區間和極值，令m＜1＜m+1，解不等式即可得到取值范圍；（2）不等式 ＞ 即為 ＞ ，令g（x）= ，通過導數，求得 ＞ ，令h（x）= ，運用導數證得h（x）＜h（1）= ，原不等式即可得證．
【考點精析】關于本題考查的函數的極值與導數，需要了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．