Question

已知二項式展開式中的常數項等于拋物線y=x²+2x在P（m，24）處的切線（P點為切點）的斜率，則展開式中系數最大的項的項數是（ ）
A．3和4
B．3
C．4
D．4和5

Answer 1

【答案】分析：把點P的坐標代入拋物線方程求得m=-6，或 m=4，再由導數的幾何意義可得二項式展開式中的常數項等于-10或10．再根據二項式的展開式通項公式可得 n=5，
由此求得 = 展開式中系數最大的項的項數．
解答：解：把點P的坐標代入拋物線方程可得 24=m²+2m，求得m=-6，或 m=4，
故拋物線y=x²+2x在P（m，24）處的切線（P點為切點）的斜率為2m+2=-10，或10．
故二項式展開式中的常數項等于-10或10．
二項式的展開式通項公式為 T_r+1=••（-1）^r•=（-1）^r••，
令3n-5r=0，r=，再由r為自然數，（-1）^r•=±10，可得 n=5．
故 = 展開式中系數最大的項為 （-1）²••，故展開式中系數最大的項的項數是3，
故選B．
點評：本題主要考查導數的幾何意義，二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于中檔題．