Question

【題目】如圖甲，四邊形中，是的中點， ．將（圖甲）沿直線折起，使二面角為（如圖乙）．

（1）求證：⊥平面

（2）求點到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接，可知，平面，即，也可證明，根據線面垂直的判斷定理可證平面；（2）根據等體積轉化，可得點到平面的距離，或是利用空間直角坐標解決.

試題解析：（Ⅰ）證明：如圖，取BD中點M，連接AM，ME.

因為AB=AD=，所以AM⊥BD， 因為DB=2，DC=1，BC=，滿足：DB 2+DC 2=BC 2， 所以△BCD是以BC為斜邊的直角三角形，BD⊥DC，因為E是BC的中點，所以ME為△BCD的中位線，ME∥，ME⊥BD，ME=

∠AME是二面角A-BD-C的平面角，=°.

，且AM、ME是平面AME內兩條相交于點M的直線，

，平面AEM，.

，，為等腰直角三角形，，在△AME中，由余弦定理得：

，.

（Ⅱ）解法一：等體積法.

解法二：如圖5，以M為原點，MB所在直線為x軸，ME所在直線為y軸，

平行于EA的直線為z軸，建立空間直角坐標系，

則由（Ⅰ）及已知條件可知B(1，0，0)，，，D，C.則

設平面ACD的法向量為=，

則令則z=-2，

記點到平面的距離為d，則，所以d.