Question

（2013•天河區三模）已知函數f(x)=

1+lg(x-1)，x＞1 g(x)，x＜1

的圖象關于點P對稱，且函數y=f（x+1）-1為奇函數，則下列結論：
（1）點P的坐標為（1，1）；
（2）當x∈（-∞，0）時，g（x）＞0恒成立；
（3）關于x的方程f（x）=a，a∈R有且只有兩個實根．
其中正確結論的題號為（　　）

A．（1）（2）

B．（2）（3）

C．（1）（3）

D．（1）（2）（3）

Answer 1

分析：由函數y=f（x+1）-1為奇函數，結合奇函數的定義列式，可證出y=f（x）的圖象關于點P（1，1）對稱，故（1）正確；求出函數g（x）在x∈（-∞，0）時的表達式，根據對數函數的單調性得到g（x）＜1恒成立，故（2）不正確；由以上的討論，得到函數y=f（x）的表達式，再結合對數函數的圖象與性質對f（x）的進行討論，可得（3）也是正確的．由此不難得到正確選項．

解答：解：∵函數y=f（x+1）-1為奇函數，
∴f（-x+1）-1=-[f（x+1）-1]，即f（1+x）+f（1-x）=2，
可得y=f（x）的圖象關于點P（1，1）對稱，故（1）正確；
∵f（1+x）+f（1-x）=2，得f（x）=2-f（2-x）
∴當x＜1時，f（x）=g（x）=2-[1+lg（1-x）]=1-lg（1-x）
因此當x∈（-∞，0）時，lg（1-x）＞lg1=0，可得g（x）＜1
所以g（x）＞0不能恒成立，故（2）不正確；
由以上的分析可得：f(x)=

1+lg(x-1)，x＞1 1-lg(1-x)，x＜1

結合對數函數圖象與性質可得：函數y=f（x）在（1，+∞）上為增函數，在（-∞，1）上為增函數，
函數y=f（x）的圖象以x=1為漸近線，且在漸近線的兩側y的取值都是（-∞，+∞）
關于x的方程f（x）=a，a∈R有且只有兩個實根，故（3）正確．
綜上所述，正確的選項是（1）、（3）
故選C

點評：本題給出一個與對數函數有關的特殊函數，叫我們討論它的單調性與圖象的對稱性．著重考查了對數函數圖象與性質和函數奇偶性的應用等知識，屬于中檔題．