Question

4、給定項數為m（m∈N^*，m≥3）的數列{a_n}，其中a_i∈{0，1}（i=1，2，…，m）．若存在一個正整數k（2≤k≤m-1），若數列{a_n}中存在連續的k項和該數列中另一個連續的k項恰好按次序對應相等，則稱數列{a_n}是“k階可重復數列”，例如數列{a_n}：0，1，1，0，1，1，0．因為a₁，a₂，a₃，a₄與a₄，a₅，a₆，a₇按次序對應相等，所以數列{a_n}是“4階可重復數列”．
（Ⅰ）分別判斷下列數列
①{b_n}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0．
②{c_n}：1，1，1，1，1，0，1，1，1，1．是否是“5階可重復數列”？如果是，請寫出重復的這5項；
（Ⅱ）若數為m的數列{a_n}一定是“3階可重復數列”，則m的最小值是多少？說明理由；
（Ⅲ）假設數列{a_n}不是“5階可重復數列”，若在其最后一項a_m后再添加一項0或1，均可使新數列是“5階可重復數列”，且a₄=1，求數列{a_n}的最后一項a_m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）觀察數列特點看元素是否按次序對應相等即看判斷數列是否為5階可重復數列；
（Ⅱ）數為m的數列{a_n}一定是3階可重復數列，數列的每一項只可以是0或1，則連續3項共有8種不同的情況，m=11數列有九組連續3項，m=10不是3階可重復數列，而3≤m＜10時，均存在不是“3階可重復數列”的數列，要使數列一定是3階可重復數列m的最小值必須是11；
（Ⅲ）利用反證法證明a₄=a_m=1．假設如果a₁，a₂，a₃，a₄與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m不能按次序對應相等，那么必有2≤i，j≤m-4，i≠j，使得a_i，a_i+1，a_i+2，a_i+3、a_j，a_j+1，a_j+2，a_j+3與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m按次序對應相等．考慮a_i-1，a_j-1和a_m-4，其中必有兩個相同，這就導致數列{a_n}中有兩個連續的五項恰按次序對應相等，從而數列{a_n}是“5階可重復數列”，這和題設中數列{a_n}不是“5階可重復數列”矛盾得證．

解答：解：（Ⅰ）記數列①為{b_n}，因為b₂，b₃，b₄，b₅，b₆與b₆，b₇，b₈，b₉，b₁₀按次序對應相等，
所以數列①是“5階可重復數列”，重復的這五項為0，0，1，1，0；
記數列②為{c_n}，因為c₁，c₂，c₃，c₄，c₅、c₂，c₃，c₄，c₅，c₆、c₃，c₄，c₅，c₆，c₇、c₄，c₅，c₆，c₇，c₈、c₅，c₆，c₇，c₈，c₉、c₆，c₇，c₈，c₉，c₁₀沒有完全相同的，所以{c_n}不是“5階可重復數列”．
（Ⅱ）因為數列{a_n}的每一項只可以是0或1，所以連續3項共有2³=8種不同的情形．
若m=11，則數列{a_n}中有9組連續3項，則這其中至少有兩組按次序對應相等，即項數為11的數列{a_n}一定是“3階可重復數列”；若m=10，數列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3階可重復數列”；則3≤m＜10時，
均存在不是“3階可重復數列”的數列{a_n}．
所以，要使數列{a_n}一定是“3階可重復數列”，則m的最小值是11．
（Ⅲ）由于數列{a_n}在其最后一項a_m后再添加一項0或1，均可使新數列是“5階可重復數列”，即在數列{a_n}的末項a_m后再添加一項0或1，則存在i≠j，使得a_i，a_i+1，a_i+2，a_i+3，a_i+4與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m，0按次序對應相等，或a_j，a_j+1，a_j+2，a_j+3，a_j+4與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m，1按次序對應相等，
如果a₁，a₂，a₃，a₄與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m不能按次序對應相等，那么必有2≤i，j≤m-4，i≠j，使得a_i，a_i+1，a_i+2，a_i+3、a_j，a_j+1，a_j+2，a_j+3與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m按次序對應相等．
此時考慮a_i-1，a_j-1和a_m-4，其中必有兩個相同，這就導致數列{a_n}中有兩個連續的五項恰按次序對應相等，從而數列{a_n}是“5階可重復數列”，這和題設中數列{a_n}不是“5階可重復數列”矛盾；
所以a₁，a₂，a₃，a₄與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m按次序對應相等，
從而a_m=a₄=1．

點評：考查學生理解數列概念，靈活運用數列表示法的能力．