Question

如圖，設(shè)A、B、C、D為球O上四點(diǎn)，若AB、AC、AD兩兩互相垂直，且AB=AC=

6

， AD=2，則OD與平面ABC所成的角為

 

．

Answer 1

分析：由題意把圖形特殊化為長方體的一部分的三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，由于知道各個(gè)棱長，所以可以通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的知識把線面角的求解轉(zhuǎn)化為直線的法向量與平面的法向量之間的夾角的方法求解即可．

解答：解：由題意及圖形，可以把圖形化并建立如圖的空間直角坐標(biāo)系：∵AB、AC、AD兩兩互相垂直，且AB=AC=

6

， AD=2
∴A（0，0，0）  B(

6

，0，0)   C(

6

，0，0)  D(0，0，2) O( 

6

2

 ，

6

2

，1) 而平面ABC的法向量取

AD

=(0，0，2)  直線的方向向量取

DO

=(

6

2

，

6

2

，-1)則  cos＜

AD

，

DO

＞=-

1

2

，所以O(shè)D與平面ABC所成的線面角的正弦為

1

2

，所以O(shè)D與平面所成的角為

π

6

．
  故答案為：

π

6

點(diǎn)評：此題重點(diǎn)考查上了立體幾何做題時(shí)的特殊模型及空間向量的解題的方法，還考查了直線與平面所成角的概念及做題時(shí)把問題等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想．