Question

如圖，AC為圓O的直徑，AP⊥圓O，PA=AB=BC．
（1）證明：面PAB⊥面PBC；
（2）若M、N分別為線段PB、PC的中點，試求直線PC與平面AMN所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先利用線面垂直的判定定理證明直線BC⊥面PAB，再利用面面垂直的判定定理證明面PAB⊥面PBC，（2）先利用線面垂直的判定定理證明PB⊥面AMN，再利用線面所成的角的定義找到線面角的平面角，最后在直角三角形中計算此角即可

解答：解：（1）由題意，PA⊥面ABC，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，
∴BC⊥面PAB
又BC?面PBC，
∴面PAB⊥面PBC
（2）∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB
∴BC⊥PB，又MN∥BC，∴MN⊥PB
在Rt△PAB中，PA=AB，M為中點，
∴AM⊥PB
∴AM∩MN=M，∴PB⊥面AMN
∴∠PNM即為所求角或其補角
設PA=2，則PB=2

2

，PM=

2

，AC=2

2

，PC=2

3

，PN=

3

∴sin∠PNM=

PM

PN

=

6

3

，即所求角的正弦值為

6

3

點評：本題綜合考查了線面垂直和面面垂直的判定定理，空間直線與平面所成的角的作法、證法、求法，轉化化歸的思想方法