Question

以三棱錐各面重心為頂點，得到一個新三棱錐，則它的表面積是原三棱錐表面積的（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  1

  4

• C．

  1

  9

• D．

  1

  16

Answer 1

分析：先根據題意畫出圖形，如圖，利用三角形的重心性質得出

A′B′

EF

=

SA′

AF

=

2

3

，三角形中位線定理得出

EF

AB

=

1

2

，從而有

A′B′

AB

=

1

3

，進一步得出新三棱錐S'-A'B'C'和原三棱錐S-ABC相似，相似比為1：3．即可得出新三棱錐的表面積是原三棱錐表面積多少倍．

解答：解：如圖，以三棱錐S-ABC各面重心為頂點，得到一個新三棱錐S'-A'B'C'，
則

A′B′

EF

=

SA′

AF

=

2

3

，

EF

AB

=

1

2

，
∴

A′B′

AB

=

1

3

，
同理，

A′C′

AC

=

1

3

，

B′C′

BC

=

1

3

，…
即新三棱錐S'-A'B'C'和原三棱錐S-ABC相似，相似比為1：3．
則新三棱錐的表面積是原三棱錐表面積的(

1

3

)2=

1

9

．
 故選C．

點評：本題主要考查了棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積，得出新三棱錐與原三棱錐的相似比，是解決本題的關鍵．