Question

已知⊙O：x²+y²=1和點M（4，2）．
（Ⅰ）過點M向⊙O引切線l，求直線l的方程；
（Ⅱ）求以點M為圓心，且被直線y=2x-1截得的弦長為4的⊙M的方程；
（Ⅲ）設P為（Ⅱ）中⊙M上任一點，過點P向⊙O引切線，切點為Q．試探究：平面內是否存在一定點R，使得為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應的定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）找出圓的圓心坐標和半徑，設切線方程的斜率為k，由M的坐標和k寫出切線l的方程，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d讓d等于半徑r得到關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，寫出直線l的方程即可；
（Ⅱ）根據點到直線的距離公式求出M到已知直線的距離d，然后利用勾股定理即可求出圓M的半徑，根據圓心和半徑寫出圓的標準方程即可；
（Ⅲ）假設存在這樣的R點，設出R的坐標，并設出P的坐標，根據圓的切線垂直于過切點的半徑得到三角形OPQ為直角三角形，根據勾股定理表示出PQ的長，然后利用兩點間的距離公式表示出PR的長，設PQ與PR之比等于λ，把PQ和PR的式子代入后兩邊平方化簡得到一個關系式記作（*），又因為P在⊙M上，所以把P的坐標當然到⊙M的方程中，化簡后代入到（*）中，根據多項式對應項的系數相等即可求出R的坐標和λ的值．
解答：解：（Ⅰ）由⊙O：x²+y²=1得到圓心O（0，0）半徑r=1，
設切線l方程為y-2=k（x-4），
易得，解得，
∴切線l方程為；
（Ⅱ）圓心M到直線y=2x-1的距離d==，
設圓的半徑為r，則，
∴⊙M的方程為（x-4）²+（y-2）²=9；

（Ⅲ）假設存在這樣的點R（a，b），點P的坐標為（x，y），相應的定值為λ，
根據題意可得，
∴，
即x²+y²-1=λ²（x²+y²-2ax-2by+a²+b²）（*），
又點P在圓上∴（x-4）²+（y-2）²=9，
即x²+y²=8x+4y-11，代入（*）式得：
8x+4y-12=λ²[（8-2a）x+（4-2b）y+（a²+b²-11）]，
若系數對應相等，則等式恒成立，∴，
解得，
∴可以找到這樣的定點R，使得為定值．
如點R的坐標為（2，1）時，比值為；點R的坐標為時，比值為．
點評：此題考查學生掌握直線與圓的位置關系，靈活運用兩點間的距離公式及點到直線的距離公式化簡求值，會根據圓心坐標和圓的半徑寫出圓的標準方程，是一道綜合題．